商品名やサービス名を商標登録せずに使い続けている場合、引き続き未登録商標として使い続けることができるか否かは、その商品名やサービス名が広く認識されるほどに周知されている場合です。
残念ながら商標法が想定している周知性のハードルは非常に高く、ほとんどのケースにおいて要件を満たすことはできません。

長い間、使用している未登録商標であっても、周知性を満たしていない商標もあれば、短い期間しか使用していなくても、周知性を満たしている商標もあります。

ほどんどの未登録商標が周知性を獲得していない、つまり「先使用権」を獲得できていない状態で、仮に第三者が同じ商品名やサービス名を商標登録出願してしまった場合、モラルの問題は別として、商標登録される可能性を否定することはできません。
むしろ、そのような商標であっても商標登録されるのが普通です。

登録商標の権利者から警告状が届いたとき、「先使用権」を主張して事態が収拾することはまずありません。
商標の使用を諦めるか、それとも「先使用権」の判断を司法に委ねるか、という選択を迫られるわけですが、どちらを選択しても大きな負担を強いられることは間違いありません。

未登録商標のままで商品名やサービス名を使い続けるということは、常にこのようなリスクと向き合っていることを理解しておくべきです。